Уравнение и его корни. Урок "уравнения и его корни"
Урок алгебры в 7 классе.
Разные уравнения уже давно и неоднократно тебе встречались, о корнях ты тоже кое-что знаешь: они есть у большинства растений. Но уравнения из курса математики не имеют отношения к растениям и их корням.
http://http://сайт//video/uravnenie_i_ego_korni_
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Такие неизвестные числа в уравнении называются переменными.
Предлагаю тебе несколько примеров уравнений.
Во всех примерах – уравнения с одной переменной, х или у. Бывают и уравнения с двумя переменными: 4х – 2у = 1, но наш урок посвящен уравнениям с одной перем.
Сначала остановимся на уравн 13х – 30 = 7х. Тут есть одна перемх ,хоть и записана она дважды, а в букв выраж между буквой и числом подразумевается знак умножения.
Корень уравнения – это число, которое обращает уравнение в верное рав-во.
В следующем урав использована перем у . Тебе хорошо знакомы такие уравн.
Прейдем к уравнению х(х — 6)(х — 12) = 0, оно имеет 3 корня, так как число х можно заменить одним из трех чисел, чтобы получить верное равенство:
И в таком случае записывают: х 1 =0, х 2 = 6, х 3 =12 – Корень уравнения.
А других корней нет, потому что произведение может быть равно нулю только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.
Уравн х + 2 = х не имеет корней, потому что при любом значении переменной в правой части рав-ва окажется число, которое на 2 меньше, чем стоящее в его левой части, а такие числа не могут быть равны.
И последнее из записанных уравнений:0 ∙ у = 0 . Любое из известных тебе чисел обратит это уравнение в верноерав-во, поэтому говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.
Уравн – это пример, который нужно решать. Теперь еще одно определение: Решить уравн – значит найти все его корни, или доказать, что их нет. Подчеркнем тут слово «все» и оборот «доказать, что их нет» и запомни, что иногда уравнение может иметь несколько корней, иметь бесконечно много корней, или не иметь их вовсе.
Применим теперь полученные знания к решению примеров.
Пример 1 Какие из записей являются уравнениями?
Пример 2 . Для каких уравнений число 3 — Корень уравнения?(Предложены 4 урав)
Выполняем проверку. . . . . .
Это были устные примеры, а вот теперь несколько письменных
Пример 3 Запишите уравн, которое имеет заданные корни: — и два разных условия. В первом условии – один корень, а во втором – два корня.
С одним корнем проще: запишем любой пример, можно даже в несколько действий, лишь бы одним из компонентов действ был указанный корень. Выполним действия и после знака «=» запишем ответ. А теперь в этом примере заменим число-корень любой выбранной буквой.
Перейдем к двум корням. Вспомни уравнение, в котором было 3 корня. В этом уравнении 3 множителя. А поскольку в задании только 2 корня, то мы, по аналогии, составим уравнение, состоящее из двух множителей.
В предложенном видео речь идет о понятии уравнения и его корнях. Для начала рассмотрена задача о гусях. В задаче стая гусей отвечает гусю, что если бы их было столько, сколько сейчас, да еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько, да еще он, то их было бы сто гусей. Вопрос: Сколько гусей в стае?
Неизвестное число гусей в стае обозначили через Х.
В результате получили: Х + Х +1/2Х+ 1/4Х + 1 = 100.
В этом равенстве присутствует неизвестная нам величина Х, значение которой мы ищем. Это значение мы можем найти из составленного нами равенства. Подобные равенства называют уравнениями с одной переменной, или уравнениями с одним неизвестным.
Искомую неизвестную величину принято обозначать буквой Х, хотя можно обозначать любой буквой. Впервые неизвестную величину обозначил буквой и составил уравнение в явном виде с неизвестным древнегреческий математик Диофант в своем труде «Арифметика».
В составленном уравнении необходимо найти такое значение переменной, которое превращает уравнение в правильное числовое равенство. Такое значение неизвестной называют корнем уравнения.
Делаем вывод, что корнем уравнения называется значение переменной, превращающее уравнение в верное числовое равенство. Решить уравнение означает найти множество его корней, число которых может быть различным. Корень может быть один, их может быть несколько, а может и не быть ни одного. В конечном итоге, чтобы решить уравнение, необходимо определить все его корни или убедиться, что у уравнения нет корней.
Количество корней уравнения может быть разным в зависимости от вида уравнения. В некоторых случаях и число может быть бесконечным, а может быть равно нулю. Для убедительности автор предлагает рассмотреть примеры уравнений, которые имеют разное количество корней. Это уравнения Х + 1 = 6, (Х - 1)(Х - 5)(Х - 8) = 0, Х = Х + 4, 3(Х + 5) = 3Х + 15. В первом случае корень один, так как только в случае, когда Х = 5, уравнение становится верным числовым равенством 6 = 6. Второе уравнение имеет три корня. Это числа 1, 5, 8. Именно при этих значениях переменной выражения в скобках по очереди принимают значение 0. При умножении на 0 все выражение становиться равным 0. Получаем равенство 0 = 0. Третье уравнение не имеет корней, потому что при любом значении Х правая часть принимает значение больше, чем левая. Четвертое уравнение в свою очередь имеет бесконечное число корней в силу применения сочетательного свойства умножения. После раскрытия скобок и левая, и правая части уравнения имеют одинаковый вид: 3Х + 15 = 3Х = 15.
Далее автор вводит понятие допустимых значений неизвестного. Для этого рассматриваются уравнения 17 - 3Х = 2Х - 2 и (25 - Х)/(Х - 2) = Х + 9. Если в первом случае неизвестное Х может принимать любые значения, то во втором при Х = 2 получаем деление на 0. Следовательно, значения переменной, которые можно подставлять в уравнение в первом случае все числа, а во втором - все числа, кроме 2.
Область определения уравнения - это множество значений переменно, при которых обе части уравнения имеют смысл.
После этого вводится понятие равносильности уравнений. Рассматриваются уравнения Х 2 = 36 и (Х - 6)(Х + 6) = 0. У этих уравнений одинаковые корни; такие уравнения принято называть равносильными.
При решении уравнений их заменяют равносильными уравнениями, но более простыми по форме. Необходимо помнить некоторые правила замены уравнения на равносильное уравнение. Во время переноса слагаемого через знак равенства знак слагаемого меняем на противоположный. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, неравное 0, уравнение останется равносильным. Можно выполнять тождественные преобразования, если они не влияют на область определения уравнения.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Которое справедливо не при любых значениях входящих в него букв, а только при некоторых. Так же можно сказать, что уравнение является равенством, содержащим неизвестные числа, обозначенные буквами.
Например, равенство 10 - x = 2 является уравнением, так как оно справедливо только при x = 8. Равенство x 2 = 49 это уравнение, справедливое при двух значениях x , а именно, при x = +7 и x = -7, так как (+7) 2 = 49 и (-7) 2 = 49.
Если вместо x подставить его значение, то уравнение превратится в тождество. Такие переменные, как x , которые только при определённых значениях обращают уравнение в тождество , называются неизвестными уравнения. Они обычно обозначаются последними буквами латинского алфавита x , y и z .
Любое уравнение имеет левую и правую части. Выражение, стоящее слева от знака =, называется левой частью уравнения , а стоящее справа - правой частью уравнения . Числа и алгебраические выражения, из которых состоит уравнение, называются членами уравнения :
Корни уравнения
Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Уравнение может иметь всего один корень, может иметь несколько корней или не иметь корней вообще.
Например, корнем уравнения
10 - x = 2
является число 8, а у уравнения
x 2 = 49
два корня - +7 и -7.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Виды уравнений
Кроме числовых уравнений, подобных приведённым выше, где все известные величины обозначены числами, существуют ещё буквенные уравнения, в которых кроме букв, обозначающих неизвестные, входят ещё буквы, обозначающие известные (или предполагаемые известные) величины.
x
- a
= b
+ c
3x
+ c = 2a
+ 5
По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с 1-м неизвестным, с 2-мя неизвестными, с 3-мя и более неизвестными.
7x
+ 2 = 35 - 2x
- уравнение с одним неизвестным
3x
+ y
= 8x
- 2y
- уравнение с двумя неизвестными