Исследование уравнений и неравенств с параметром заключение. Решение уравнений и неравенств с параметрами
Параметр \(a\)
– это число, которое может принимать любые значения из \(\mathbb{R}\)
.
Исследовать уравнение/неравенство при всех значениях параметра – это значит указать, при каких значениях параметра какое именно решение имеет данное уравнение/неравенство.
Примеры:
1) уравнение \(ax=2\)
при всех \(a\ne 0\)
имеет единственное решение \(x=\dfrac 2a\)
, а при \(a=0\)
не имеет решений (т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=2\)
).
2) уравнение \(ax=0\)
при всех \(a\ne 0\)
имеет единственное решение \(x=0\)
, а при \(a=0\)
имеет бесконечно много решений, т.е. \(x\in
\mathbb{R}\)
(т.к. тогда уравнение принимает вид \(0=0\)
).
Заметим, что
I) обе части уравнения нельзя делить на выражение, содержащее параметр (\(f(a)\)
), если это выражение может быть равно нулю. Но можно рассмотреть два случая:
первый, когда \(f(a)\ne0\)
, и в этом случае можно разделить обе части равенства на \(f(a)\)
;
второй случай, когда \(f(a)=0\)
, и этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\)
(см. пример 1, 2).
II) обе части неравенства нельзя делить на выражение, содержащее параметр, если неизвестен знак этого выражения. Но можно рассмотреть три случая:
первый, когда \(f(a)>0\)
, и в этом случае можно делить обе части неравенства на \(f(a)\)
;
второй, когда \(f(a)<0\)
, и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\)
мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
третий, когда \(f(a)=0\)
, и в этом случае мы можем по отдельности проверить каждое значение \(a\)
.
Пример:
3) неравенство \(ax>3\) при \(a>0\) имеет решение \(x>\dfrac3a\) , при \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .
Задание 1 #1220
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение \(ax+3=0\)
Уравнение можно переписать в виде \(ax=-3\) . Рассмотрим два случая:
1) \(a=0\) . В этом случае левая часть равна \(0\) , а правая – нет, следовательно, уравнение не имеет корней.
2) \(a\ne 0\) . Тогда \(x=-\dfrac{3}{a}\) .
Ответ:
\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{a}\) .
Задание 2 #1221
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите уравнение \(ax+a^2=0\) при всех значениях параметра \(a\) .
Уравнение можно переписать в виде \(ax=-a^2\) . Рассмотрим два случая:
1) \(a=0\) . В этом случае левая и правая части равны \(0\) , следовательно, уравнение верно при любых значениях переменной \(x\) .
2) \(a\ne 0\) . Тогда \(x=-a\) .
Ответ:
\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\) .
Задание 3 #1222
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство \(2ax+5\cos\dfrac{\pi}{3}\geqslant 0\) при всех значениях параметра \(a\) .
Неравенство можно переписать в виде \(ax\geqslant -\dfrac{5}{4}\) . Рассмотрим три случая:
1) \(a=0\) . Тогда неравенство принимает вид \(0\geqslant -\dfrac{5}{4}\) , что верно при любых значениях переменной \(x\) .
2) \(a>0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, \(x\geqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
3) \(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Ответ:
\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac{5}{4a}; \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .
Задание 4 #1223
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Решите неравенство \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) при всех значениях параметра \(a\) .
Преобразуем неравенство к виду: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\) . Рассмотрим два случая:
1) \(a=0\) . В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\) .
2) \(a\ne 0\) . Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:
\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\) .
Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.
Следовательно, уравнение \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) всегда имеет два корня \(x_1=-3a, x_2=\dfrac{2}{a}\) . Таким образом, неравенство примет вид:
\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]
Если \(a>0\)
, то \(x_1
Если \(a<0\) , то \(x_1>x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вниз, значит, решением являются \(x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a]\) .
Ответ:
\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty); \\ a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .
Задание 5 #1851
Уровень задания: Легче ЕГЭ
При каких \(a\) множество решений неравенства \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) содержит полуинтервал \(\) .
Ответ:
\(a\in (-\infty;\dfrac{4}{3}\big]\cup
Рассмотрим два случая:
1) \(a+1=0 \Rightarrow a=-1\) . В этом случае уравнение \((*)\) равносильно \(3=0\) , то есть не имеет решений.
Тогда вся система равносильна \(\begin{cases} x\geqslant 2\\ x=2 \end{cases} \Leftrightarrow x=2\)
2) \(a+1\ne 0 \Rightarrow a\ne -1\) . В этом случае система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant -2a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3{a+1} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]
Данная система будет иметь одно решение, если \(x_2\leqslant -2a\) , и два решения, если \(x_2>-2a\) :
2.1) \(\dfrac3{a+1}\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) имеем один корень \(x=-2a\) .
2.2) \(\dfrac3{a+1}>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) имеем два корня \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3{a+1}\) .
Ответ:
\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\{-2a;\frac3{a+1}\}\)
Как показывает статистика, нахождение решения задач с параметром многие выпускники считают наиболее трудным при подготовке в ЕГЭ 2019 по математике. С чем это связано? Дело в том, что зачастую задачи с параметром требуют применения исследовательских методов решения, т. е. при вычислении правильного ответа понадобится не просто применять формулы, но и находить те параметрические значения, при которых выполнено определенное условие для корней. При этом сами корни порой искать вовсе не требуется.
Тем не менее справляться с решением заданий с параметрами должны все учащиеся, которые готовятся к сдаче ЕГЭ. Подобные задачи встречаются в аттестационном испытании регулярно. Образовательный портал «Школково» поможет вам восполнить пробелы в знаниях и научиться быстро находить решение заданий с параметром в ЕГЭ по математике. Наши специалисты подготовили и в доступной форме изложили весь базовый теоретический и практический материал по данной теме. С порталом «Школково» решение задач на подбор параметра будет даваться вам легко и не повлечет никаких затруднений.
Основные моменты
Важно понять, что единого алгоритма решения задач на подбор параметра попросту не существует. Способы нахождения правильного ответа могут быть различными. Решить математическую задачу с параметром в ЕГЭ - значит, найти, чему равна переменная при определенном значении параметра. Если исходное уравнение и неравенство можно упростить, это необходимо сделать в первую очередь. В некоторых задачах для этого можно использовать стандартные методы решения, как в случае, если бы параметр представлял собой обычное число.
Вы уже успели ознакомиться с теоретическим материалом по данной теме? Для окончательного усвоения информации при подготовке к ЕГЭ по математике рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий с параметром; для каждого упражнения мы представили полный разбор решения и правильный ответ. В соответствующем разделе вы найдете как простые, так и более сложные задачи. Попрактиковаться в решении упражнений с параметрами, построенных по примеру заданий в ЕГЭ, учащиеся могут в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.
Человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет ее применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» ее, считает ее своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о ее существовании.
Что же такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение f (x; a) = 0. Если ставится задача отыскать все такие пары (x; a), которые удовлетворяют данному уравнению, то оно рассматривается как уравнение с двумя равноправными переменными х и а. Но можно поставить и другую задачу, полагая переменные неравноправными. Дело в том, что если придать переменной а какое-либо фиксированное значение, то f (x; a) = 0 превращается в уравнение с одной переменной х, и решения этого уравнения, естественно, зависят от выбранного значения а.
Основная трудность, связанная с решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром, состоит в следующем: -при одних значениях параметра уравнение не имеет решений; -при других – имеет бесконечно много решений; -при третьих – оно решается по одним формулам; - при четвертых – оно решается по другим формулам. - Если уравнение f (x; a) = 0 нужно решить относительно переменной Х, а под a понимается произвольное действи- тельное число, то уравнение называют уравнением с параметром a.
Решить уравнение с параметром f (x; a) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (x; a) = 0 при любых действительных значениях параметра. Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства урав- нений. Каждое из уравнений семейства полу- чается из данного уравнения с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения уравнения с параметром можно сформулировать следующим образом:
Выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Решение линейных уравнений
Чтобы разбить множество значений параметра на подмножества, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения уравнения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь находить контрольные значения параметра.
Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы, ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Но иногда прямое решение является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.
Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения. Например, найти значения параметра, при которых: 1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка; 2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.
Основные способы (методы) решения задач с параметром. Способ I (аналитический). Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха. Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Пример 1. Найти значения параметра а, при которых уравнение а(2а + 3)х + а 2 = а 2 х + 3а имеет единственный отрицательный корень. Решение. Данное уравнение равносильно следующему:. Если а(а + 3) 0, то есть а 0, а –3, то уравнение имеет единственный корень х =. х
Пример 2. Решите уравнение. Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b – 1)(x + 3) 0, то есть b 1, x –3. Умножив обе части уравнения на (b – 1)(x + 3) 0, получаем уравнение: Это уравнение является линейным относительно переменной х. При 4b – 9 = 0, то есть b = 2,25 уравнение принимает вид: При 4b – 9 0, то есть b 2,25 корень уравнения x =. Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение х равно –3. Таким образом, при b 1, b 2,25, b –0,4 уравнение имеет единственный корень x =. О т в е т: при b 1, b 2,25, b –0,4 корень x = при b = 2,25, b = –0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.
Типы задач 2 и 3 отличает то, что при их решении не требуется получить явное решение, а нужно лишь найти те значения параметра, при которых это решение удовлетворяет тем или иным условиям. Примерами таких условий для решения могут служить следующие: существует решение; не существует решения; существует единственное решение; существует положительное решение; существует ровно k решений; существует решение, принадлежащее указанному промежутку. В этих случаях оказывается очень полезен графический способ решения задач с параметрами.
Можно выделить две разновидности применения графического метода при решении уравнения f (х) = f (а): На плоскости Оху рассматриваются график у = f (х) и семейство графиков у = f (а). Сюда же относятся задачи, решаемые с помощью «пучка прямых». Этот способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и одним параметром. На плоскости Оха (которую называют также фазовой) рассматриваются графики, в которых х – аргумент, а а – значение функции. Этот способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь одна неизвестная и один параметр (или сводящиеся к таким).
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней? Решение. Построим графики функций f (х) = 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 и f (х) = а в одной системе координат. Имеем: f "(х) = 12х х 2 – 24х = 12х(х + 2)(х – 1), f "(х) = 0 при х = –2 (точка минимума), при х = 0 (точка максимума) и при х = 1 (точка максимума). Найдем значения функции в точках экстремума: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Строим схематически график функции с учетом точек экстремума. Графическая модель позволяет ответить на поставленный вопрос: уравнение 3х 4 + 4х 3 – 12х 2 = а имеет не менее трех корней, если –5
Пример 2. Сколько корней при различных значениях параметра а имеет уравнение? Решение. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности у = и прямой у = х + а. Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу у = х +. Заданное уравнение не имеет корней при а; имеет один корень при –2
Пример3. Сколько решений имеет уравнение |х + 2| = ах + 1 в зависимости от параметра а? Решение. Можно построить графики у = |х + 2| и у = ах + 1. Но мы поступим иначе. При х = 0 (21) решений нет. Разделим уравнение на х: и рассмотрим два случая:1)х > –2 или х=2 2)2) х
–2 или х=2 2)2) х
Пример использования «пучка прямых» на плоскости. Найдите значения параметра a, при которых уравнение |3x + 3| = ax + 5 имеет единственное решение. Решение. Уравнение |3x + 3| = ax + 5 равносильно следующей системе: Уравнение y – 5 = a(x – 0) задает на плоскости пучок прямых с центром A (0; 5). Проведем прямые из пучка прямых, которые будут параллельны сторонам уголка, являющегося графиком y = |3x + 3|. Эти прямые l и l 1 пересекают в одной точке график y = |3x + 3|. Уравнения этих прямых y = 3x + 5 и у = –3х + 5. Кроме того, всякая прямая из пучка, расположенная между этими прямыми, также будет пересекать график y = |3x + 3| в одной точке. Значит, искомые значения параметра [–3; 3].
Алгоритм решения уравнений с использованием фазовой плоскости: 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем параметр а как функцию от х. 3. В системе координат хОа строим график функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 4. Находим точки пересечения прямой а = с, где с є (-; +) с графиком функции а = f(х). Если прямая а = с пересекает график а = f(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 5.Записываем ответ.
Пример решения неравенства с помощью «фазовой плоскости». Решите неравенство х. Решение.По равносильному переходу Теперь на плоскости Оха построим графики функций Точки пересечения параболы и прямой х 2 – 2х = –2х х = 0. Условие а –2х автоматически выполняется при а х 2 – 2х Таким образом, в левой полуплоскости (х
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
Учебное пособие
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение а x = b , записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a , b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
b = 0 является особым значением параметра b .
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0 . Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax < b (а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(; +), если a > 0 , и (-;) , если а < 0 . Аналогично для неравенства
ах < b множество решений – промежуток (-;), если a > 0, и (; +), если а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение : Это линейное уравнение.
Если а = 0 , то уравнение 0 × х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ : при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3) , рассмотрим два случая:
а= -3 и а ¹ -3.
Если а= -3 , то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а ¹ -3 , уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х R ; при а ¹ -3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение : Решим уравнение 2ах – 4х – а 2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а 2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а
¹
2 х =
.
По условию х > 1
, то есть
>1, а > 4.
Ответ: При а {2} U (4;∞).
Пример 4 . Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0 , то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0 , то уравнение имеет одно решение.
Пример 5 . С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1 - один корень
при | а| ≤1 – уравнение корней не имеет.
Пример 6 . Решить неравенство ах + 4 > 2х + а 2
Решение
:
ах + 4 > 2х + а
2
(а – 2) х >
а
2
– 4. Рассмотрим три случая.
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2; при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х + с = 0 , где а≠ 0,
а, b , с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1
)
дискриминанта квадратного уравнения:
D
=
b
² - 4
ac
,
(
²-
ас)
2)
формул корней квадратного уравнения:
х
1
=
, х
2
=
,
(х
1,2 =
)
Квадратными называются неравенства вида
a х 2 + b х + с > 0, a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)
a х 2 + b х + с ≥ 0, a х 2 + b х + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , a х 2 + b х + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена a х 2 + b х + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R .
Если квадратный трехчлен имеет корни (х
1
< х
2
), то при а > 0 он положителен на множестве
(-;
х
2
)
(х
2;
+)
и отрицателен на интервале
(х
1
; х
2
). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1
; х
2
) и отрицателен при всех х (-;
х
1
)
(х
2;
+).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а – 1)х – 4 = 0 .
Это квадратное уравнение
Решение : Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0 . Оно имеет единственный корень х = 2.
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х – 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если
а ≠ - 1
, то
D
>0
. По формуле корней получим:
х=
;
х 1 =2, х 2 = -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1 =2, х 2 =-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y = х²-2х-8 - графиком является парабола;
y =а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9 , уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9 , уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х 2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D <0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
откуда следует, что
a
> 6
.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1.
Решить уравнение
= 0
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2
.
Решить уравнение
-
=
(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант = (1 – а)² - (а² - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х 1 = а + 1, х 2 = а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.
Если х 1 +1=0, то есть (а+1) + 1= 0 , то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х 1 -
Если х 1 +2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3 . Таким образом, при а = - 3, х 1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 2 +1=0, то есть (а – 3) + 1= 0 , то а = 2 . Таким образом, при а = 2 х 2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х 2 +2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1 . Таким образом, при а = 1,
х 2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6 ;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2 , то х= -5 ; 3) если а= 0 , то корней нет; 4) если а= 1 , то х= 2; 5) если а=2 , то х=3 ; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида
=g
(x
) равносильно системе
Неравенство f (x ) ≥ 0 следует из уравнения f (x ) = g 2 (x ).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x)
≥g(x)
Пример 1.
Решите уравнение
= х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение:
По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе
.
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5 , то есть не имеет решений.
При
а≠ 2 х=
.
Выясним, при каких значениях
а
найденное значение
х
удовлетворяет неравенству
х ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ:
При
а≤, а > 2 х=
,
при
< а ≤ 2
уравнение решений не имеет.
Пример 2.
Решить уравнение
= а
(приложение 4)
Решение.
y
=
y = а – семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ : при а<0 –решений нет;
при а ≥ 0 – одно решение.
Пример 3
. Решим неравенство
(а+1)
<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2 . Если а+1 ≤0 , то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х . Если же а+1>0 , то
(а+1)
<1.
<
откуда
х (2-
2
Ответ.
х (- ;2 при а (-;-1,
х (2-
2
при а (-1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a
x= (-1)
n
arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют.
tg x = a
x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1.
sin x > a
arcsin a + 2 πn
Z,
при a <-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.
2. . sin x < a
π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1, xR
3.
cos
x
>
a
-
arccos
a
+ 2
πn
<
x
<
arccos
a
+ 2
πn
,
n
Z
,
при а<-1, xR ; при a ≥ 1 , решений нет.
4. cos x arccos a+ 2 πnZ,
при а≤-1 , решений нет; при a > 1, x R
5. tg x > a, arctg a + πnZ
6. tg x < a, -π/2 + πn Z
Пример1. Найти а , при которых данное уравнение имеет решение:
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
с os 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение
cosx
= 5-
а
имеет решения при условии -1≤ 5-
а
≤1
4≤
а
≤ 6, а уравнение
cosx
= -
а-1
при условии -1≤ -1-
а
≤ 1
-2 ≤
а
≤0.
Ответ.
а
-2; 0
4; 6
Пример 2.
При каких
b
найдется а такое, что неравенство
+
b
> 0 выполняется при всех х ≠
πn
,
n
Z
.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b >0. Покажем теперь, что ни одно b ≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π /2, если а <0, и х = - π /2 при а ≥0.
Ответ. b> 0
§ 6. Показательные уравнения и неравенства
1. Уравнение
h
(x
)
f
( x
)
=
h
(x
)
g
( x
)
при
h
(x
) > 0 равносильно совокупности двух систем
и
2. В частном случае (h (x )= a ) уравнение а f (x ) = а g (x ) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
и
3. Уравнение а f (x ) = b , где а > 0, a ≠1, b >0, равносильно уравнению
f (x )= log a b . Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида
f
(a
x
) > 0 при помощи замены переменной
t
=
a
x
сводится к решению системы неравенств
а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f (x ) , предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.
Пример 1
.
При каких
а
уравнение 8
х
=
имеет только положительные корни?
Решение.
По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0
8
х
>1
>1
>0, откуда
a
(1,5;4).
Ответ. a (1,5;4).
Пример 2. Решить неравенство a 2 ∙2 x > a
Решение . Рассмотрим три случая:
1. а< 0 . Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хR .
2. a =0. Решений нет.
3.
а
> 0
.
a
2
∙2
x
> a
2
x
>
x > - log
2
a
Ответ. хR при а > 0; решений нет при a =0; х (- log 2 a ; +) при а> 0 .
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x ) g (x ) = log f (x ) h (x ) равносильно системе
В частности, если а >0, а ≠1, то
log
a
g (x)= log
a
h(x)
2.
Уравнение
log
a
g (x)=b
g (x)=
a
b
(
а
>0,
a ≠
1, g(x) >0).
3. Неравенство
log
f
( x
)
g
(x
) ≤
log
f
( x
)
h
(x
) равносильно совокупности двух систем:
и
Если а, b – числа, а >0, а ≠1, то
log
a
f (x) ≤ b
log
a
f (x) > b
Пример 1.
Решите уравнение
Решение . Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение
logх – 2 = 4 –
log
a
x
logх +
log
a
x
– 6 = 0, откуда
log
a
x
= - 3
х =
а
-3
и
log
a
x
= 2
х =
а
2
. Условие х =
а
4
а
– 3
=
а
4
или
а
2
=
а
4
не выполняется на ОДЗ.
Ответ:
х =
а
-3
, х =
а
2
при
а
(0; 1)
(1; ).
Пример 2 . Найдите наибольшее значение а , при котором уравнение
2
log -
+
a
= 0 имеет решения.
Решение.
Выполним замену
=
t
и получим квадратное уравнение 2
t
2
–
t
+
a
= 0. Решая, найдем
D
= 1-8
a
. Рассмотрим
D
≥0, 1-8
а
≥0
а
≤.
При а = квадратное уравнение имеет корень t = >0.
Ответ. а =
Пример 3 . Решить неравенство log (x 2 – 2 x + a ) > - 3
Решение.
Решим систему неравенств
Корни квадратных трехчленов х
1,2
= 1 ±
и х
3,4
= 1 ±
.
Критические значения параметра: а = 1 и а = 9.
Пусть Х 1 и Х 2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х
1
Х
2
= Х – решение исходного неравенства.
При 0<
a
<1 Х
1
= (-
;1 -
)
(1 +
; +), при
а
> 1 Х
1
= (-;+).
При 0 <
a
< 9 Х
2
= (1 -
; 1 +
), при
а
≥9 Х
2
– решений нет.
Рассмотрим три случая:
1. 0<
a
≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).
2. 1 <
a
< 9 Х = (1 -
;1 +
).
3. a ≥ 9 Х – решений нет.
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р , при которых уравнение
р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
∙ (
- 1) + 2sinx
+ p
= 3, sinx
=t
, t
, t
0.
- p + 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .
Пусть
f
(y
) = 3
t
2
– 2
t
3
. Найдем множество значений функции
f
(x
) на
. у
/
= 6
t
– 6
t
2
, 6
t
- 6
t
2
= 0,
t
1
=0,
t
2
= 1.
f
(-1) = 5,
f
(1) = 1.
При
t
,
E
(f
) =
,
При
t
,
E
(f
) =
, то есть при
t
,
E
(f
) =
.
Чтобы уравнение 3
t
2
– 2
t
3
=
p
(следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно
p
E
(f
), то есть
p
.
Ответ.
.
Пример 2.
При каких значениях параметра
а
уравнение
log
(4
x
2
– 4
a
+
a
2
+7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x 2 – 4a + a 2 +7 = (х 2 + 2) 2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а .
4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.
Проверка.
1)
a
1
= 1. Тогда уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2. Решаем его
4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2 , 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 – единственный корень.
2)
a
2
= 3. Уравнение имеет вид:
log
(4
x
2
+4) =2
х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3
Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х 2 – (р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х 3 – 7р х 2 + 2х 2 – 14 р х - 3х +21 р ≤ 0.
Решение.
Пусть х
1,
х
2
– целые корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х
1
+ х
2
=
р
+ 3, х
1
∙ х
2
= 1. Произведение двух целых чисел х
1
, х
2
может равняться единице только в двух случаях: х
1
= х
2
= 1 или х
1
= х
2
= - 1. Если х
1
= х
2
= 1, то
р
+ 3 = 1+1 = 2
р
= - 1; если х
1
= х
2
= - 1, то
р
+ 3 = - 1 – 1 = - 2
р
= - 5. Проверим являются ли корни уравнения х
2
– (р
+ 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая
р
= - 1, х
1
= х
2
= 1 имеем
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – верно; для случая р = - 5, х 1 = х 2 = - 1 имеем (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р 1 = - 1 и р 2 = - 5.
Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а , при которых число 1 принадлежит области определения функции
у
= (а
-
а
).
Урок по элективному курсу
по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами»
(Урок обобщения и повторения)
Цель: 1.Повторить и обобщить знания учащихся методов решения уравнений и неравенств с параметрами; закрепить умения применять знания при решении конкретных заданий; 2. Развивать логическое мышление; 3.Воспитывать внимание и аккуратность.
План урок: I. Организационный момент_________________________2 мин.
II. Актуализация опорных знаний:
- Повторение__________________________________3 мин.
- Устная работа________________________________3 мин.
- Работа по карточкам (во время 1 и 2)
III. Решение упражнений___________________________22 мин.
IY. Выполнение теста______________________________8 мин.
Y. Подведение итогов, постановка домашнего задания__2 мин.
Х о д у р о к а:
I. Организационный момент .
Учитель: - Здравствуйте, ребята. Приятно вас всех видеть, мы начинаем наш урок. Сегодня на уроке наша цель - повторить и отработать знания, умения и навыки, полученные на прошлых уроках при изучении данной темы.
II . Актуализация опорных знаний:
1) Повторение.
Учитель: - Итак, повторим.
Что называется линейным уравнением с параметрами?
Какие случаи мы рассматривали при решении таких уравнений?
Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.
Приведите примеры линейных неравенств с параметрами.
2) Устная работа.
Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду.
На доске:
а) 3а х – 1 =2 х ;
б) 2+5 х = 5а х ;
в) 2 х – 4 = а х + 1.
3) Работа по карточкам.
III . Решение упражнений.
Задание 1. Решить уравнение с параметром а.
3(ах + 1) + 1 = 2(а – х) + 1.
Задание выполняется на доске и в тетрадях.
Задание 2. При каком значении а, прямая у = 7ах + 9, проходит через
т. А(-3;2) ?
Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.
Физкульт. минутка.
Задание 3. При каком значении а, уравнение 3(ах – а) = х – 1 имеет
Бесконечно много решений?
Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях. Затем проверить ответы.
Задание 4. При каком значении параметра а , сумма корней уравнения
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 равна 1?
Задание выполняется комментированием с места.
Задание 5. Решите неравенство с параметром р :
р(5х – 2)
Данное задание выполняется у доски и в тетрадях.
IY. Выполнение теста.
Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:
1) Является ли уравнение 6(ах + 1) + а = 3(а – х) + 7 линейным?
А) да; б) нет; в) можно привести к линейному
2) Уравнение (2ах + 1)а = 5а – 1 приведено к виду линейного уравнения
А) нет; б) да;
3) При каком значении параметра а прямая у = ах – 3 проходит через
Т. А(-2;9) ?
А) а = 1/6; б) а = 1/2; в) а = -6; г) а = 6.
4) При каком а уравнение 2ах + 1 = х имеет корень, равный -1?
а) а = -1; б) а = 0; в) а = 1; г) а = 1/2.
5) Если у квадратного уравнения ах² + вх + с = 0 Д ах² + вх + с >0 зависит от
А) значения в ; б) значения а ; в) значения -в/а ;
г) не имеет решений.
О т в е т ы к т е с т у: в; а; в; в; б.
YII. Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания.
Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Я думаю, что вы поработали хорошо, молодцы.
Кроме поставленных за урок оценок, можно оценить работу на уроке еще ряда учащихся.
Учитель : - Запишите домашнее задание:
На доске:
Решить неравенство: х² - 2ах + 4 > 0.
Урок окончен.
Департамент образования Владимирской области
Управления образования Судогодского района
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Мошокская средняя общеобразовательная школа»
«
Решение
уравнений
и
неравенств
с
параметром
»
Разработала: Гаврилова Г.В.
учитель математики
моу «Мошокская средняя
общеобразовательная школа»
2009 год
Решение уравнений и неравенств с параметрами
Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.
7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.
8 класс – при изучении квадратных уравнений.
Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.
Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.
Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.
Цели курса:
Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;
Выявить и развить их математические способности;
Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;
Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.
Учебно-тематический план
№ п/п
|
Тема |
Кол-во часов
|
Виды деятельности |
1. |
|
|
Практикум |
2. |
Первоначальные сведения о задачах с параметром. |
Семинар |
|
3. |
Решение линейных уравнений, содержащих параметры. |
|
|
4. |
Решение линейных неравенств, содержащих параметры. |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
|
5. |
Квадратные уравнения. Теорема Виета. |
3 |
Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа. |
6. |
Успешность усвоения курса |
1 |
Итоговая контрольная работа |
Тема 1.
Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.
Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.
Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.
Примеры решения линейных неравенств с параметром.
Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.
Примеры решения квадратных уравнений с параметром.
Дидактический материал к элективному курсу
«Решение уравнений и
неравенств с параметром»
Тема 1.
Примеры для этой темы.
Тема 2.
Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:
Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);
Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)
Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);
Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);
Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,
Что такое параметр?
Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-
ми, то используются такие обозначения.
Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.
Что означает «решить задачу с параметром»?
Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
Определить, при каких значениях параметров существует решения;
Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1.
Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».
Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.
Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Например, найти значения параметра, при которых:
1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.
Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.
Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).
Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.
Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.
Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;
если а = 0, то –а = 5а;
если а > 0, то –а
Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а
Решить уравнение ах = 1.
Если а ≠ 0, то х = 1 / а.
Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.
Сравнить с и – 7с.
Решить уравнение сх = 10
Тема 3.
Линейные уравнения
Уравнения вида
где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.
Схема исследования линейного уравнения (1).
1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.
2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.
3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.
Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а
Уравнение записано в виде (1).
Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.
Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид
0 ∙ х = в+6. (2)
Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.
Если в = - 6, то любое х является решением (2).
Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).
Ответ: в = -6.
3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).
3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;
б) (а – 1)х = а – 2;
в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.
Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;
б) (а + 1)х = а – 1;
в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.
Линейные неравенства с параметром
Неравенства
ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное,
называются линейными неравенствами с параметрами.
Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.
Схема решения неравенства а х > в.
Если а > 0, то х > в/а.
Если а
Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в
Примеры. 4.1. Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2.
Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.
Рассмотрим три случая.
а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
а а-2, значит х
2ах +5 > a+10x .
(а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
Х 2 +ах +1 > 0 .
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;
б) 3х-а > ах – 2.
Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;
б) ах-2в
Тема 5.
Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.
Уравнение вида
ах 2 +вх + с = 0, (1)
где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).
Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а
Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение
(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.
Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .
2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.
Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет
б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один
корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а
корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)
Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;
при а =2 х = 2;
при а >2 нет корней;
Для всех значений параметра решить уравнения:
ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
ах 2 +6х – 6 = 0;
вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
(в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.
Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение
Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,
а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =
4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).
Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два
различных корня.
2) При а ≠ 1 и D
3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.
Ответ. Если а > - 4 / 5 и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня;
если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.
.При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
.При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
.При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?
Самостоятельная работа.
Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Вариант 2.
. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а
)х
2 +4х
– 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.
При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.
Теорема Виета.
Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.
При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2.
Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.
При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.
Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х 1 ∙ х 2 = С /аПри этом условие D = в 2 – 4ас > 0 выполняется автоматически.
Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения ах 2 + вх + с = 0.
Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)
х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)
(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)
(5)
5.10.
(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем
х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .
Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.
а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.
Отсюда а є (-1; 0).
б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если
D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)
Отсюда а є (0; 1).
в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2
(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;
б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;
в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11.
При каких значениях параметра а квадратное уравнение
(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.
5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.
Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.
2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).
3. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.
2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.
3. При каких значениях параметра в уравнение
х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
Литература.
В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.